Mathematik

Georg Cantor der Begründer der Mengenlehre (1845 – 1918) stellte fest: „In der Mathematik muss die Kunst, eine Frage zu stellen, höher bewertet werden, als die Kunst, diese Frage zu lösen“. Zitat entnommen: Kleines Mathematikum, Albrecht Beutelspachers, Seite 166. In diesem kurzweiligen Buch wird zudem auf den Seiten 15 – 17 beschrieben, wie der Beginn der Mathematik datiert wird. Die ältesten Nachweise liegen demnach etwa 30.000 Jahre zurück. Mit den ersten Kulturzeugnissen der Menschheit wurden auch Knochen gefunden, die viele Kerben enthalten. Die Kerben sind so sorgfältig, gleichmäßig und systematisch ausgeführt, dass die Historiker sicher sind, dass es sich um Zahlendarstellungen handelt. Beutelspachers schreibt: „.. klar ist: Schon damals gab es Menschen, die gezählt haben.“

Zur Mathematik habe ich einen Aufsatz aus Jahr 2008 eingefügt. Für mich ist das Zählen die Grundlage jeglicher Mathematik. Und wenn wir zählen, dann ist immer eine Frage: „Wieviel … ?“ der Ausgangspunkt.

Hier jetzt der Aufsatz: Ich schnappte vor kurzem diese Frage auf, die ein kleines Mädchen ihrer Mutter stellte: „Können Tier rechnen?“. Was würden sie darauf antworten? Und wie würden sie ihre Antwort begründen? Hier ist eine mögliche Antwort.

4.3.1. Mathematik beginnt mit Zählen

Wo liegt der Ursprung der Mathematik? Es ist anzunehmen, dass der Mensch irgendwann begann, Dinge zu zählen. Mit dem Zählen werden Objekte in Mengen geordnet und klassifiziert. Irgendwann einigten sich Menschen auf unser Dezimalsystem als System der Ordnung im Zahlenraum. Wenn wir heute zählen, dann beginnen wir mit der 1, dann kommt die 2, usw. bis zur 10, die Dezimale. Dann kommt die 10 + 1 = 11, 10 + 2 = 12, usw. bis zur nächsten Dezimale, die 20. Letztlich ist die Mathematik die Wissenschaft des Zählens. Nun ist die Mathematik für viele Menschen ein Martyrium, obwohl es ja eigentlich nur um das Zählen geht. Und das Zählen ist für uns Menschen ja kinderleicht. Doch viele kluge Köpfe haben aus dem einfachen Zählen von Dingen eine unglaubliche komplexe und schwierige Wissenschaft gemacht. Denn statt zu zählen, gibt es im Zahlensystem die Möglichkeit des Abstrahierens. Ein Beispiel ist die Addition aller Zahlen 1 bis 10. Man kann durch Zählen zum Ergebnis kommen. Das dauert seine Zeit. Der mathematisch begabte Mensch fragt sich natürlich, ob die Aufgabe nicht schneller zu lösen ist. Und natürlich wurde sie bereits positiv beantwortet. Man beginnt in der Mitte und addiert quasi von innen heraus: also 5 + 6 = 11, 4 + 7 = 11, 3 + 8 = 11, 2 + 9 = 11, 1 + 10 = 11. Die Aufgabe ist mit 5 x 11 = 55 in kürzester Zeit gelöst. Das ist die Geschichte des jungen Gauß, dessen Klasse zur Überbrückung einer Stunde vom Lehrer die Aufgabe bekam, die Zahlen von 1 bis 100 zu addieren. Dank seiner Fähigkeit zur Abstraktion löste Gauß die Aufgabe noch bevor der Lehrer die Tür hinter sich geschlossen hatte. Die Mathematik ist im Laufe der Zeit zum wichtigsten Werkzeug der Naturwissenschaften geworden. Denken wir nur an die Physik. Die Formeln der Mathematik beschreiben die physikalischen Vorgänge der Natur. Die Bahnen der Planeten lassen sich mit mathematischen Formeln ausdrücken. Albert Einsteins Relativitätstheorie besteht aus Gleichungen und ihrer richtigen Interpretation.

4.3.2. Zählen heißt fragen

Aber was machen wir, wenn wir zählen? Wir benötigen offensichtlich eine Information bzw. eine Antwort auf eine konkrete Frage. Ein Beispiel ist das Läuten der Stundenglocke einer Kirchturmuhr. Ich wohne in einem Dorf – so ziemlich in der Mitte, also fast direkt unterm Kirchturm. Morgens höre ich nun nach dem Wachwerden die Glocke zur jeweiligen Stunde. Da ich zum Glück keinen Wecker stellen muss, weiß ich gewöhnlich nicht wie spät es ist. Die gewünschte Information kommt in der Frage: „Wie viel Uhr ist es?“ zum Ausdruck. Es ist fast unmöglich, genau zu wissen, wie viel Uhr es ist, ohne die Glockenschläge zu zählen. Man braucht viel Übung und um so weiter der Morgen und die Stundenzahl voranschreitet, um so schwieriger wird es. Ich habe es schon probiert. Testen sie es auch einmal. Doch wenn sie sicher gehen wollen, dann müssen sie die Schläge zählen oder nach 12 Uhr Mittag aufstehen. Eine wichtige Erkenntnis ist meines Erachtens in diesem Zusammenhang, dass das Zählen immer eine vorherige Frage beantwortet, die zumeist mit dem Fragewort : „Wie viel ….?“ beginnt. Natürlich wird diese Frage nicht immer explizit ausgesprochen. Doch eine Frage schwebt immer im Raum. Das klingt zunächst irgendwie banal, doch es ist eine gravierende Feststellung. Ohne Frage kein Zählen und ohne Zählen keine Mathematik. Wir können also nach der obigen Definition jetzt auch sagen, die Mathematik ist eine Wissenschaft auf Basis der Frage.

3. Mathematische Gleichungen = Frage und Antwort

In der Mathematik werden Gleichungen aufgestellt. Das kleine 1×1 besteht aus Gleichungen. Ein Beispiel ist 3 x 4 = 12. Sie werden sich bestimmt erinnern. Diese Gleichung ist nichts anderes als eine Frage und ihre Antwort. Die Frage lautet: Wie viel ist 3 x 4 und die Antwort lautet 12. Wir können demnach das Gleichheitszeichen durch ein Fragezeichen ersetzen oder durch eine Kombination beider Zeichen, denn die Antwort wird ja direkt mitgeliefert: 3 x 4 ?= 12. Jede Gleichung entsteht also nur, weil wir eine Frage gestellt haben. Ohne Frage keine Gleichung. E = m x c² geht der Frage nach, in welchem Zusammenhang Energie und Materie stehen. Die Antwort lautet: Energie lässt sich in Materie und Lichtgeschwindigkeit ausdrücken. Letztlich erfolgt durch die Einsteinsche Formel natürlich keine endgültige Beantwortung des Wesens von Energie an sich, aber die mengenmäßige Verhältnismäßigkeit von Energie zu Materie und Lichtgeschwindigkeit hat – wie wir alle wissen – eine technische Bedeutung ersten Ranges. Schließlich ist die Kernspaltung ein Produkt dieser Gleichung. Dabei hat Einstein eigentlich nur richtig gezählt. Oder besser, er hat im Zahlen- und Mengenraum die richtigen Fragen gestellt und ganz offenbar die richtigen Antworten darauf gefunden

4.3.4. Zählende Schimpansen?

Aber was hat das jetzt mit der Titelfrage zu tun. Wenn Tiere zählen könnten, dann müssen wir die Frage „Können Tiere rechnen?“ mit einem eindeutigen – Ja – beantworten. Die Versuche mit Schimpansen machen uns glauben, sie könnten zählen. Da wird das Versuchstier „gefragt“, wie viele Objekte auf dem Tisch liegen und der Affe drückt dann (zumeist) die richtige Taste mit der zugehörigen Zahl und bekommt seine Belohnung. Natürlich werden immer nur kleine Zahlmengen abgefragt. Doch können Schimpansen wirklich zählen oder zumindest fragen? Die „Fähigkeit zur Frage“ ist – wie wir festgestellt haben – ja Voraussetzung aller Mathematik. Ich behaupte: Nein! Wenn Schimpansen die richtige Taste drücken, dann haben sie ein Muster richtig erkannt. Sie haben jedoch keine Frage beantwortet, sondern lediglich gelernte Schemata wiederholt. Es ist wie mit den Glockenschlägen. Bis zu einer bestimmten niedrigen Zahl kann Mensch oder Tier anhand von Mustererkennung eine Anzahl von Objekten ohne zu zählen angeben. Das ist Übung und Dressur auf der Basis einer Wenn-Dann-Operation. Doch bald schon geht ohne Zählen nichts mehr. Und damit kommt die Frage ins Spiel und diese ist dem Menschen vorbehalten.

4.3.5. Fähigkeit des Zweifelns

Der große philosophische Denker Descartes hat sich überlegt, worauf er sich eigentlich verlassen kann. Er fand heraus, dass sein reales Erleben nicht von seinen Träumen zu unterscheiden ist. Denn auch Träume können realistisch sein. Träumen sie also jetzt diesen Text zu lesen oder ist es Wirklichkeit? Sie können nicht absolut sicher sein. Aber über den Zweifel oder die Frage „Ist mein Erleben real oder ein Traum“ gibt es keinen Zweifel bzw. kein in Frage stellen mehr. „Ich zweifle, also bin ich“ oder „Ich denke, also bin ich“. Das ist die Schlussfolgerung Descartes. Sein Gedankenspiel führt uns zu einer ureigenen Fähigkeit des Menschen: Die Fähigkeit des Zweifelns oder Die Fähigkeit zur Frage.

Sie werden jetzt sagen, die Frage gehört ja zur Sprache des Menschen und Tiere sprechen nicht unsere Sprache. Vielleicht fragen sie ja auf ihre Art und Weise. Doch Tiere sind nicht fähig zur Frage. Diese Fähigkeit ist dem Menschen als Spezies gegeben. Gerade diese Fähigkeit macht den Unterschied zwischen Mensch und Tier aus. Es ist eine Kerndifferenz, die alle anderen Unterschiede wie z.B. den aufrechten Gang des Menschen und auch die menschliche Sprache ausgelöst hat. Deshalb ist auch ein direkter Nachweis der Abstammung des Menschen vom Affen nicht möglich. Aber der Mensch ist nun einmal ein Teil der Natur dieses Planeten. Wir benötigen keine Außerirdischen oder sonstige abwegigen Theorien um die Evolution der Spezies Mensch zu erklären. Die Evolution hat beim Menschen keinen physisch-biologischen Evolutionssprung, sondern einen kognitiv-biologischen Sprung, nämlich die „Fähigkeit zur Frage“ oder die „Fähigkeit des Zweifelns“ in die Welt eingeführt. Deshalb ist das Fragen und somit das Zählen auch eine unserer leichtesten Übungen und es funktioniert auch – zumindest außerhalb unseres Schulsystems – ohne Belohnung. Aber Tieren kann man das Zählen nicht beibringen. Es ist reine Quälerei. Ihnen fehlt der entscheidende evolutive Schritt, welcher uns Menschen zu Menschen macht. Und natürlich hört der Mensch nicht mit dem Zählen auf. Er hat durch immer weitere aufkeimende Fragen im Zahlen- und Mengenraum aus dem einfachen Zählen die heutige Mathematik entwickelt. Und die Fragen nehmen kein Ende. Der Appell Einsteins „Hört niemals auf zu fragen.“ ist eigentlich unbegründet. Wir können gar nicht anders.

H. Johannes Siebelts im März 2008

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